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16.03.2010

Mit welcher Geschwindigkeit landet ein Fallschirmspringer?

Teil 2: Warum Da Vinci Recht hatte

Schauen wir uns die Lösung der Gleichung noch einmal genau an:

Lösung der Bewegungsgleichung

Die Landegeschwindigkeit nähert sich einem bestimmten Wert

Betrachtet man dieser Gleichung genauer, fällt auf, dass sich die Landegeschwindigkeit sich mit fortschreitender Sprungzeit dem Wert

Endgeschwindigkeit jedes Fallschirmsprungen

annähert.

Denn der Grenzwert der Exponentialterme geht bei t gegen unendlich gegen 0. Die Landegeschwindigkeit hängt somit einzig vom Widerstandskoeffizient und dem Gewicht des Springers ab. Die Landegeschwindigkeit ist somit auch unabhängig vom Zeitpunkt des Öffnens des Fallschirms bzw. von der Sprunghöhe (eine ausreichende Sprunghöhe natürlich vorausgesetzt).

Die folgende Abbildung zeigt diesen Fakt: Sowohl ein Sprung mit einem gewissen Freifall, bei dem der Fallschirm zur Zeit t2 geöffnet wird, als auch ein Sprung mit Öffnen direkt nach dem Absprung (Zeitpunkt t1) führt auf die selbe Landegeschwindigkeit.

Warum Da Vinci Recht hatte

Jetzt ist also klar, warum Da Vincis Behauptung stimmt. Weil die Landegeschwindigkeit unabhängig von der Sprunghöhe ist und je nach Masse des Springers und Luftwiderstand einen bestimmten festen Wert zustrebt. Man konnte sich also von vornherein sicher sein - so zum Beispiel Montgolfier 1777, dass man eine ausreichend geringe Landegeschwindigkeit erreicht.

Natürlich ergäben sich mit derartigen Fallschirmen (Rundkappenfallschirm) in der Praxis weitaus komplexere physikalische Zusammenhänge, denn einerseits führen doch Winde und auch Lenkbewegungen des Fallschirms zu unterschiedlichen Luftreibewiderständen, so dass real verschiedene Landegeschwindigkeiten erreicht werden. 

In der heutigen sportlichen Praxis sind fast ausschließlich Flächenfallschirme verbreitet, bei denen der Gewichtskraft vor allem die Auftriebskraft (durch Umströmung) entgegengesetzt ist. Durch geschickte Handhabung der linken und rechten Steuerleine kann im Idealfall eine nahezu "stehende" Landung erreicht werden. Seit einigen Jahren gibt es die eigenständige Disziplin "Swooping", bei der entsprechend konstruierte Flächenfallschirme mit Höchstgeschwindigkeit exakt waagerecht so knapp über dem Boden geflogen werden, dass man beispielsweise in einem Wassergraben das Wasser mit den Fußspitzen berührt und eine lange Welle hinter sich herzieht - mit anderen Worten, hier ist die "Landegeschwindigkeit" nahezu Null.

Eine Modellierung derartiger Fallschirmsysteme würde zu einem komplexeren Modell führen, als die Beschreibung über eine relativ einfache Differentialgleichung erster Ordnung. Komplizierte Modelle sind dann sinnvoll, wenn Nutzen und Aufwand verhältnismäßig sind. Dies ist vor allem dann der Fall, wenn wir an nicht oder schwer messbaren Zusammenhängen interessiert wären, wie beispielsweise  an der Kräfteverteilung über den Schirm bis hin zu den Nähten.

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