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16.03.2010

Mit welcher Geschwindigkeit landet ein Fallschirmspringer?

Teil 1: Da Vinci, Newton und Leipnitz - Theoretiker des Fallschirmspringens

Aus großer Höhe springen, frei durch die Luft fliegen und dann sicher auf dem Boden landen - das muss ein schönes Gefühl sein. Mit einem Fallschirm wurde dies möglich - eigentlich für jeden. Denn man lande, so DaVinci im Jahre 1483, immer mit einer Geschwindigkeit, die einem Sprung aus etwa zwei Metern Höhe gleichkommt! Absolut kein Problem, nicht wahr?

Da Vinci, Newton und Leipnitz "Theoretiker" des Fallschirmspringens

Bereits 1483 fertigte Leonardo Da Vinci eine Skizze von einem pyramidenförmigen Fallschirm an. Eine interessante Randnotiz lautete damals: "Wenn ein Mann mit beschichtetem Leintuch von einer Länge von 12 Iardas auf jeder Seite und 12 Iarda hoch versehen ist, so kann er aus jeglicher großen Höhe springen, ohne Verletzung."

Äußerst bemerkenswert ist die Aussage von Leonardo da Vinci auch deshalb, weil er sie 200 Jahre vor Newtons Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, in der er das Gravitationsgesetz beschrieb, und auch etwa 200 Jahre vor Leipnitz Infinitesimalrechnung tätigte. Aber trotzdem traf diese Aussage genau den Kern. Mit Hilfe von Newton und Leipnitz konnte man dann später sagen, warum dies denn genau zutrifft.

Diese sich daraus ergeben Erkenntnisse hatten Einfluss auf den Bau und die Konstruktion von Fallschirmen.

Montgolfier, der mit den Theorien von Leipnitz wohlbekannt war, stürzte sich 1777 überzeugt von Berechnungen über den Luftwiderstand und aufbauend auf kleineren Versuchen vom Dach seines Hauses in Annonay/Frankreich - und überlebte.

Zur Mathematik des sicheren Landens

Versuchen wir uns nun dem Problem des Fallschirmsprungs mathematisch zu nähern, um daraus allgemeine Schlussfolgerungen ziehen zu können.

Wenn ein Körper auf die Erde fällt, wird dies durch die Erdanziehungskraft verursacht. Das weiß man spätestens seit Newtons Principia. Newton hilft uns noch weiter: Das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz lautet, dass die Änderungsgeschwindigkeit der Geschwindigkeit - also die Beschleunigung - proportional zur wirkenden Kraft ist. Die wirkende Kraft setzt sich aus der bereits erwähnten Schwerkraft (bzw. Gewichtskraft) sowie einer Kraft zusammen, welche das Fallen abbremst. Dies ist die Kraft, die durch den Luftwiderstand verursacht wird.


In die Mathematik übersetzt, ist die nichts anderes als:

Bewegungsgleichung

Das ist die so genannte Bewegungsgleichung des Fallschirmsprungs, wobei m die Masse des Springers plus der des Fallschirms ist. Weiterhin steht v für die Geschwindigkeit, t für die Zeit, g für die Erdschwerebeschleunigung und k ist der Reibkoeffizient. Hierbei wird angenommen, dass der Luftwiderstand zur Fallgeschwindigkeit proportional ist. Bei langsamen Fallgeschwindigkeiten ist diese Annahme gültig.

Die Bewegungsgleichung ist bezüglich der Geschwindigkeit v(t) eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, d.h. die gesuchte Lösung v(t) hängt von ihrer ersten Ableitung ab. Wir können sie leicht durch Separation der Variablen v und t lösen.

Zunächst dividieren wir durch m und trennen dann v und t voneinander ab, so das v auf der linken Seite und t auf der rechten Seite der Gleichung steht:

Separation der Variablen

Nun können wir das unbestimmte Integral berechnen. Es ergibt sich:

Integrierte Bewegungsgleichung

Dabei ist ln der natürliche Logarithmus und c eine Konstante, welche wir durch folgende Anfangsbedingung lösen: Wir setzten die Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t=0 des sich öffnenden Fallschirm gleich v0 und erhalten für c:

Berechnung des Anfangswertes

Setzt man diesen Wert für c nun wieder in die ursprüngliche Gleichung ein, erhält man unter Beachtung der Logarithmengesetze

Logarithmengleichung

Löst man diese Gleichung nun nach v auf, erhält man die gesuchte Lösung für den Geschwindigkeitsverlauf:

Lösung der Fallschirmsprunggleichung

Wie kann man nun diese Lösung interpretieren? Erfahrt mehr im Teil 2:

Teil 1: Da Vinci, Newton und Leipnitz - Theoretiker des Fallschirmspringens

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