Aus großer Höhe springen, frei durch die Luft fliegen und dann sicher auf dem Boden landen - das muss ein schönes Gefühl sein. Mit einem Fallschirm wurde dies möglich - eigentlich für jeden. Denn man lande, so DaVinci im Jahre 1483, immer mit einer Geschwindigkeit, die einem Sprung aus etwa zwei Metern Höhe gleichkommt! Absolut kein Problem, nicht wahr?
Da Vinci, Newton und Leipnitz "Theoretiker" des Fallschirmspringens
Bereits 1483 fertigte Leonardo Da Vinci eine Skizze von einem pyramidenförmigen Fallschirm an. Eine interessante Randnotiz lautete damals: "Wenn ein Mann mit beschichtetem Leintuch von einer Länge von 12 Iardas auf jeder Seite und 12 Iarda hoch versehen ist, so kann er aus jeglicher großen Höhe springen, ohne Verletzung."
Äußerst bemerkenswert ist die Aussage von Leonardo da Vinci auch deshalb, weil er sie 200 Jahre vor Newtons Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, in der er das Gravitationsgesetz beschrieb, und auch etwa 200 Jahre vor Leipnitz Infinitesimalrechnung tätigte. Aber trotzdem traf diese Aussage genau den Kern. Mit Hilfe von Newton und Leipnitz konnte man dann später sagen, warum dies denn genau zutrifft.
Diese sich daraus ergeben Erkenntnisse hatten Einfluss auf den Bau und die Konstruktion von Fallschirmen.
Montgolfier, der mit den Theorien von Leipnitz wohlbekannt war, stürzte sich 1777 überzeugt von Berechnungen über den Luftwiderstand und aufbauend auf kleineren Versuchen vom Dach seines Hauses in Annonay/Frankreich - und überlebte.
Zur Mathematik des sicheren Landens
Versuchen wir uns nun dem Problem des Fallschirmsprungs mathematisch zu nähern, um daraus allgemeine Schlussfolgerungen ziehen zu können.
Wenn ein Körper auf die Erde fällt, wird dies durch die Erdanziehungskraft verursacht. Das weiß man spätestens seit Newtons Principia. Newton hilft uns noch weiter: Das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz lautet, dass die Änderungsgeschwindigkeit der Geschwindigkeit - also die Beschleunigung - proportional zur wirkenden Kraft ist. Die wirkende Kraft setzt sich aus der bereits erwähnten Schwerkraft (bzw. Gewichtskraft) sowie einer Kraft zusammen, welche das Fallen abbremst. Dies ist die Kraft, die durch den Luftwiderstand verursacht wird.
In die Mathematik übersetzt, ist die nichts anderes als:
Das ist die so genannte Bewegungsgleichung des Fallschirmsprungs, wobei m die Masse des Springers plus der des Fallschirms ist. Weiterhin steht v für die Geschwindigkeit, t für die Zeit, g für die Erdschwerebeschleunigung und k ist der Reibkoeffizient. Hierbei wird angenommen, dass der Luftwiderstand zur Fallgeschwindigkeit proportional ist. Bei langsamen Fallgeschwindigkeiten ist diese Annahme gültig.
Die Bewegungsgleichung ist bezüglich der Geschwindigkeit v(t) eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, d.h. die gesuchte Lösung v(t) hängt von ihrer ersten Ableitung ab. Wir können sie leicht durch Separation der Variablen v und t lösen.
Zunächst dividieren wir durch m und trennen dann v und t voneinander ab, so das v auf der linken Seite und t auf der rechten Seite der Gleichung steht:
Nun können wir das unbestimmte Integral berechnen. Es ergibt sich:
Dabei ist ln der natürliche Logarithmus und c eine Konstante, welche wir durch folgende Anfangsbedingung lösen: Wir setzten die Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t=0 des sich öffnenden Fallschirm gleich v0 und erhalten für c:
Setzt man diesen Wert für c nun wieder in die ursprüngliche Gleichung ein, erhält man unter Beachtung der Logarithmengesetze
Löst man diese Gleichung nun nach v auf, erhält man die gesuchte Lösung für den Geschwindigkeitsverlauf:
Wie kann man nun diese Lösung interpretieren? Erfahrt mehr im Teil 2:
Eine stehende Landung, die laut Artikel erreicht werden "kann", ist heutzutage im Fallschirmsport die Norm (außer bei Anfängern oder unter sehr widrigen Wetterbedingungen). Es gibt seit ein paar Jahren sogar die eigenständige Disziplin "Swooping", bei der entsprechend konstruierte Flächenfallschirme mit Höchstgeschwindigkeit exakt waagrecht so knapp über dem Boden geflogen werden, dass man beispielsweise in einem Wassergraben das Wasser mit den Fußspitzen berührt und eine lange Welle hinter sich herzieht - mit anderen Worten, hier ist die "Landegeschwindigkeit" Null, es gibt nur noch Vorwärtsfahrt.
Die im Artikel angegebenen Berechnungen mögen bei militärischen Rundkappen ihre Berechtigung haben. Für eine Beurteilung der tatsächlichen Landeverhältnisse im modernen Fallschirmsport empfehle ich allerdings den Besuch eines beliebigen zivilen Sprungplatzes.
In diesem Artikel versuchte ich (vielleicht vergeblich), das Prinzip der mathematischen Modellbildung anhand des Beispiels "Fallschirmspringen" praktisch näherzubringen. In der mathematischen Modellbildung geht man so vor, dass man einen komplizierten physikalischen Vorgang anhand mathematischer Modellgleichungen approximiert. Dabei nimmt man also immer Fehler bezüglich der realen Verhältnisse in Kauf.
Warum macht man dies überhaupt? Weil man nicht daran interessiert ist, die tatsächlichen Verhältnisse absolut korrekt (wenn das überhaupt geht) abzubilden, sondern nur soweit dies im Zusammenhang mit einer Fragestellung begründet ist. Bei der Interpretation der Aussagen, die man aus derartigen Modellierungen gewinnt, muss man natürlich immer den Grad der Approximation beachten.
Wenn man als Zielstellung definiert, die prinzipielle Korrektheit für Da Vincis Aussagen abzuleiten, reichen eben diese Modellgleichungen. Noch mehr: Diese Modellgleichungen auf Basis nichlinearer Differenzialgleichungen sind die kleinste Einheit, mit der wir das Fallschirmspringen (oder einfache Fallvorgänge) verstehen können (letztendlich als Punktmasse mit Luftwiderstand).
Wenn wir dagegen die Fallgeschwindigkeit moderner Fallschirme besser modellieren wollten, oder die Kräfteverteilung über den Schirm oder an den Nähten, könnten wir beispielsweise versuchen, das Fallschirmspringen derart zu beschreiben, dass wir die durch die Umströmungen verursachten Druck- bzw. Kraftverhältnisse in unser Modell mit aufnehmen. Dies ist natürlich um ein Vielfaches komplexer.
Dies ist durchaus interessant. Mir würde prinzipiell folgende Fragestellung in den Kopf kommen:
Wie ist der prinzipielle Zusammenhang zwischen horizontaler Umströmungsgeschwindigkeit (bzw. Fluggeschwindigkeit) und Auftriebswirkung bei der Landung. Würden wir es schaffen, dass die komplizierten physikalischen Zusammenhänge derart approximirbar wären, ohne (im Sinne der Fragestellung) an zu viel Aussagekraft zu verlieren, würden wir mit Sicherheit eine tiefere, allgemeinere oder zumindest andere Sichtweise bekommen.
Trotzdem danke für den Hinweis. Ich werde Korrekturen (Konkretisierungen) bezüglich deiner Hinweise einfügen.